圖1  新莽銅嘉量

如果說栗氏量只有一段并不詳盡的文字記載，劉歆卻在它的基礎上經過再創造，實實在在地制造出一件曠世佳作。新莽銅嘉量有十分詳盡的刻銘:斛量正面器壁上刻81字詔文(見圖2)，大意是:唐堯、虞舜的美德傳到莽，建立了新朝。統一了律度量衡，故昭告天下，萬世永遵，享傳億年。背面又在五個單獨量的外壁上加刻每一量器的直徑、深度及計算容積，總共二百四十多字。在文博學家們眼里，古代器物上的刻銘，字字千金。而新莽銅嘉量上，不但刻銘詳盡，而且包含著深邃的科技含量，其價值該有多大啊!那么我們就來看看新莽銅嘉量是如何既繼承古制，又有創新的。

①關于其形

栗氏量集升、豆、鬴三量于一器，并簡要說明了器的尺度、容積以及重一鈞。新莽銅嘉量則是集龠、合、升、斗、斛五量，每一量都有詳盡的尺寸及計算容積。《漢書·律歷志》另注明“重二鈞”。②關于“內方尺而圜其外”與嘉量的“庣旁”栗氏量記:“內方尺而圜其外，其實一鬴，”嘉量刻銘:“方尺而圜其外，庣(tiao)旁九厘五毫。……容十斗。”栗氏量與新莽銅嘉量皆采用先取一正方形，每邊長一尺，在正方形外作圓。但栗氏量所用的尺是多長，一鬴的容積是多少，都已無法知道了。而嘉量度量衡三個量的量值必須體現漢代的實際情況:一尺是23.1厘米，一斛之積是1620立方寸。要滿足一斛之積是1620立方寸，圓面積就必須是162平方寸，如果圓的大小是方一尺作外接圓，那么實際計算所得的圓面積就是157平方寸，比所要求的少了5平方寸。如何做到既要與栗氏量“方尺而圓其外”的提法相同，又能保證圓面積達到162平方寸呢？這一點確實是一個很大的難題。劉歆不但是一位古文經學大師，而且還精通律歷學，對數學也有很深的造詣，他想，只要把圓徑加大五平方寸，圓面積不就加大了嗎。在他的苦苦尋求下，又經過反復運算，終于提出了一個最佳方案，即在正方形的對角線兩端各加上9厘5毫，就能與162平方寸相符了。劉歆還為這個“九厘五毫”專門取了一個特殊的名字“庣旁”。這個方法真是太巧妙了，這時劉歆才大大地松了一口氣，同時也為自己的創造感到非常滿意。③關于黃鐘律栗氏量又說:“聲中黃鐘之宮”，我們再來看看嘉量的刻銘是如何與它相對應的吧？嘉量每一器分銘前都加有一個“律”字，如律嘉量斛、律嘉量斗等。律嘉量龠銘文說得更具體:“積八百一十分，容如黃鐘”。二者說法雖不完全相同，但其承傳關系卻十分清楚。關于“聲中黃鐘之宮”，當然不是說敲擊栗氏量發出的聲音，與黃鐘律之宮音相合。劉歆根據他的理解，認為應該是“栗氏量尺”與黃鐘律管的長度有某種內在的聯系。最后提出了以黃鐘律管、累黍定度量衡的理論。這一理論的提出，在中國度量衡史上影響極大，以致其后為此研究、討論了1000多年。關于黃鐘、累黍定度量衡，已有許多文章做過論述，這里不再展開。古代的量器，很難達到較高的精確度，故有“以度數審其容”之說。新莽嘉量就是一件以尺度來計算容積的高科技產品。嘉量銘文:“冥(冪)百六十二寸，深尺，積千六百二十寸，容十斗。”嘉量各器都是圓筒形，要計算它們的容積，就要牽涉圓周率的問題。劉歆用的是什么圓周率呢？可惜銘文沒有提到，他使用的圓周率及求圓周率的方法，就成了千古之謎。在其后二百多年的三國魏時，數學家劉徽最早對新莽銅嘉量刻銘中的計算容積作了研究。他認為劉歆在設計嘉量時，對庣旁的設置已精確到了厘毫，在計算容積時，是不會使用《周髀算經》里說的“徑一周三”這樣粗略圓周率的。但是他究竟用的是什么圓周率呢？劉徽為了對新莽銅嘉量作考校，經過反復研究，終于發明了用割圓術來求圓周率，再經過無數次運算，得到圓周率是3.14，為此他成為中國運用正確方法求圓周率的首創者。緊接著又以他求得的圓周率去核算嘉量的圓面積，得到的數值為“冪一百六十一寸有奇”，即不到162寸。可惜他沒有再作更進一步的探討。在劉徽之后的200多年，即南北朝時期。有一天，數學家祖沖之在皇宮中見到這件新莽銅嘉量，他十分興奮，大為驚嘆道，銘文刻得如此詳盡，真是了不起。祖沖之畢竟是一位數學家，立刻想到這件嘉量計算精確的程度如何?自己為何不按照器壁上刻的銘文親自驗算一下呢。要計算斛的容積，第一步先算出它的直徑，即一尺正方形對角線長為寸，庣旁九厘五毫(0.095寸)，圓面積的直徑為14.1421356+2×0.095=14.3321356寸，銅斛的半徑是7.166寸，圓面積即銘文中所說162平方寸，祖沖之模擬了一下劉歆的計算過程，推算出劉歆所用的圓周率是162方寸÷(7.166寸)²=3.1547。祖沖之推算出劉歆的圓周率后，十分贊賞，因為在劉歆所處的西漢末年，最著名的數學書《周髀算經》里說的是“徑一周三”。就是說，圓周是直徑的三倍，如果直徑是一尺，圓周率就是三尺。圓周率是3，而劉歆所用的圓周率卻是3.1547，比起“徑一周三”的算法進步很多。這提起了祖沖之更大的興趣。祖沖之知道，劉徽在劉歆之后已采用了割圓術計算出圓周率是3.14。劉徽這種方法是有正確的理論作指導的，對這一點祖沖之深信不疑，同時也是心悅誠服的。但是，劉徽只取了小數點后兩位數，把后面幾位數舍棄了。祖沖之覺得，如果不算出更精確的圓周率，也就沒有辦法更進一步精確地校核嘉量的計算容積。于是決心按照這一方法繼續計算下去。為此祖沖之把自己的小書房重新翻修，把地板刨得十分光滑。祖沖之的兒子祖暅(gèng)看到后，不解地問道:“您這是要做什么呀?”祖沖之回答說:“我想計算出比劉徽更精確的圓周率。”祖暅在父親的影響下，也對數學很感興趣，十分高興地說:“我來做您的幫手吧。”祖沖之高興地點頭答應了。祖沖之和兒子一起，在書房的地上畫了一個直徑為一丈的大圓，開始了艱苦的計算。劉徽算到96邊形就停止了，而祖沖之則算到12288邊形才停下來。為此祖沖之父子幾乎是廢寢忘食、夜以繼日，無數次耗盡燈油。終于得出比劉徽更精確的圓周率，即:如果直徑是1，圓周大于3.1415926，小于3.1415927。這個結論，用現代數學符號表示:3.1415926<π<3.1415927。祖沖之當時也并不知道，他已成為全世界最早把圓周率精確地計算到小數點后七位數的第一人。祖沖之求得了這個精確的圓周率后，再去校驗嘉量上的刻銘，終于發現劉歆的計算還是不夠精確，他指出:嘉量圓面積設計162平方寸，按圓周率是3.1415926計算，半徑是7.180965寸，直徑是14.36193寸有余，這樣，庣旁就不是銘文所說的九厘五毫，而正確的庣旁應該是一分九毫有余，劉歆庣旁比理論值少了一厘四毫有余。他再用這個數字和自己求得的圓周率去計算嘉量的容積，果然得到1620立方寸。劉歆設計制造了這樣一件量器，甚至影響到數學上重大成果的取得，這是連他自己也不會想到的。歷代對新莽銅嘉量都給予了極大的關注，唐宋時盡管仍不斷有學者對它做過討論、研究，但都懷疑實物是否還存在？元、明兩代四百年間，也未見有新莽銅嘉量的下落。到了清朝乾隆初年，新莽銅嘉量被發現藏于內府，乾隆皇帝對它給予了極大的關注，并參照新莽銅嘉量設計制造了三圓一方乾隆嘉量，把方、圓兩件分別陳設在乾清宮和太和殿前亭屋內，以象征清廷的法度與至高無上的權力。1924年，紫禁城被改造籌建為故宮博物院，在清點文物時發現了這件珍品，再次引起學術界的關注，隨后馬衡、王國維、劉復等相繼對它作了研究、考證，對這件曠世瑰寶在歷史、科學技術、數學、度量衡等方面所起的作用給予了高度評價。劉復受當時任博物院院長馬衡先生的重托，對嘉量作了十分精細的測量，并寫了《新嘉量之校測與推算》一文，詳細記述了測量方法及推算經過，最后求得新莽時一尺長23.1厘米、一升容200毫升、一斤重226.7克。新莽銅嘉量在其后的兩千年，不斷引起后世如此多的關注，在世界度量衡史上也是絕無僅有的。如今，這件國之瑰寶仍保存良好，珍藏于臺灣故宮博物院。